Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n(n+2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n(n+2)
A tarefa é determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de teoria das séries, como o Teste da Convergência Absoluta e o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^+infty | (-1)^n+1 1n(n+2) | = sumn=1^+infty 1n(n+2)
Agora, precisamos determinar se essa série converge ou diverge.

Passo 3

Observando a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty 1n(n+2)
Podemos simplificar cada termo usando frações parciais:
1n(n+2) = 12( 1n - 1n+2 )
Assim, a série fica:
sumn=1^+infty 12( 1n - 1n+2 )
Essa é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancelam quando somados. Calculando a soma parcial até o termo SN = 12 ( (1 - 13) + (12 - 14) + cdots + (1N - 1N+2) ):
SN = 12 (1 + 12 - 1N+1 - 1N+2)
Após simplificar, percebemos que:
S = 12 (1 + 12) = 12 times 32 = 34
Quando tende ao infinito, os últimos termos e tendem a zero. Assim, a soma total é:
Como a série dos valores absolutos converge para , concluímos que a série original é absolutamente convergente.

Passo 4

Como já estabelecemos que a série é absolutamente convergente, não precisamos verificar a convergência condicional. A convergência absoluta implica a convergência da série original independente da alternância dos sinais.

Resposta

A série
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1n(n+2)
é absolutamente convergente.

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