Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn!

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar se a série sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso cai no assunto de convergência de séries, e pra resolver vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, além de aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência Absoluta: Uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge. Isso é bom porque se converge absolutamente, então converge de qualquer jeito (por exemplo, mesmo se alternar sinais).
  • Convergência Condicional: É quando a série original sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| não converge.
Agora, para saber se a nossa série é absolutamente convergente, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^+infty | (-1)^n+1 3^nn! | = sumn=1^+infty 3^nn!
Essa série é bem parecida com a série da função exponencial e^x, que é:
e^x = sumn=0^+infty x^nn!
Sabemos que a série do e^x converge para todo valor de x. Portanto, a série sumn=1^+infty 3^nn! também converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos sumn=1^+infty 3^nn! converge, concluímos que a série original sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn! é absolutamente convergente. Isso significa que ela converge não importa como os termos são agrupados, graças à convergência absoluta.

Resposta

A série sumn=1^+infty(-1)^n+1 3^nn! é absolutamente convergente.

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