Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso cai no assunto de convergência de séries, e pra resolver vamos precisar entender o que é convergência absoluta e condicional, além de aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência Absoluta: Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é bom porque se converge absolutamente, então converge de qualquer jeito (por exemplo, mesmo se alternar sinais).
  • Convergência Condicional: É quando a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Agora, para saber se a nossa série é absolutamente convergente, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Essa série é bem parecida com a série da função exponencial , que é:
Sabemos que a série do converge para todo valor de . Portanto, a série também converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Isso significa que ela converge não importa como os termos são agrupados, graças à convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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