Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas, como teste da convergência absoluta e teste da convergência condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que para qualquer número inteiro . Isso ocorre porque o seno de múltiplos inteiros de é sempre zero.

Passo 3

Substituindo por 0 na série, temos:

Passo 4

A série é uma série de termos nulos. Somando zero infinitas vezes, o resultado da série é 0.

Passo 5

Como todos os termos da série são iguais a zero, a série converge absolutamente. Além disso, não há necessidade de verificar a convergência condicional, pois a convergência absoluta já foi estabelecida.

Resposta

A série é absolutamente convergente e seu valor é 0.

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