Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de séries numéricas. O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se converge, onde são os termos da série original.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são . Para verificar a absoluta convergência, vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 4

Sabemos que a função seno está limitada entre -1 e 1, ou seja, . Então, . Isso implica que:
Portanto, .

Passo 5

Assim, podemos estimar os termos absolutos da nossa série:

Passo 6

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a série converge.

Passo 7

Pelo teste da comparação, já que e a série comparativa converge, podemos concluir que a série dos valores absolutos também converge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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