Nos Exercícios de 1 a 20, determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de séries numéricas. O enunciado pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se
converge, onde
são os termos da série original.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são . Para verificar a absoluta convergência, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Sabemos que a função seno está limitada entre -1 e 1, ou seja, . Então, . Isso implica que:
Portanto, .
Passo 5
Assim, podemos estimar os termos absolutos da nossa série:
Passo 6
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a série
converge.
Passo 7
Pelo teste da comparação, já que e a série comparativa converge, podemos concluir que a série dos valores absolutos também converge.
Passo 8
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.
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