Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial linear do primeiro grau e nos pede para encontrar a solução que passa pelo ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar melhor os coeficientes. A equação dada é:
Vamos dividi-la por para simplificar:
Agora está na forma padrão de uma equação linear:
onde e .
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares, então mantemos a expressão em termos da integral.
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Despejamos :
Passo 8
Aplicamos a condição inicial para encontrar .
Calculando quando :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: