Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
e^(-x) y' + 2 e^(x) y = e^(x), y(0) = 1/2 + 1/e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial linear do primeiro grau e nos pede para encontrar a solução que passa pelo ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para identificar melhor os coeficientes. A equação dada é:
Vamos dividi-la por para simplificar:
Agora está na forma padrão de uma equação linear:
onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Essa integral não possui uma solução em termos de funções elementares, então mantemos a expressão em termos da integral.

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Despejamos :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar .
Calculando quando :
Sabemos que , então:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
onde é determinada pela condição inicial .

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