Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial de primeira ordem
com a condição inicial
. Isso significa que vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para encontrar a função
que satisfaz essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante
, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:
(Desprezamos a constante
porque estamos interessados apenas em um fator integrante particular.)
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Simplificando
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 8
Observamos que a integral do lado direito pode ser resolvida por substituição:
Seja , então
, ou
.
Então:
Seja
Então:
Passo 9
Agora, temos:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 10
Simplificamos a expressão:
Onde
.
Passo 11
Agora, aplicamos a condição inicial
. Sabemos que:
Substituindo na solução geral:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
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a.) (1,0 pontos) Aplique a técnica do trapézio para resolver a integral e expresse os resultados com três decimais.
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Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.