Nos exercícios 21. a 24., resolva o problema de valor inicial.
y' + y cotg(x) = 5 e^(cos(x)), y(π/2) = -4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a equação diferencial de primeira ordem com a condição inicial . Isso significa que vamos usar métodos de equações diferenciais lineares para encontrar a função que satisfaz essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante , que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Sabemos que:
Então, o fator integrante fica:
(Desprezamos a constante porque estamos interessados apenas em um fator integrante particular.)

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Simplificando :
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a .

Passo 7

Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 8

Observamos que a integral do lado direito pode ser resolvida por substituição:
Seja , então , ou .
Então:

Passo 9

Agora, temos:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 10

Simplificamos a expressão:
Onde .

Passo 11

Agora, aplicamos a condição inicial . Sabemos que:
Substituindo na solução geral:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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