Nos exercícios 26. e 27., encontre a solução geral da equação diferencial, fazendo, inicialmente, a substituição
para transformá-la em uma equação polinomial na variável
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é o exercício 26 ou 27. A gente tem uma equação envolvendo
(a derivada de
em relação a
) e
. O conteúdo que vamos usar aqui é resolução de equações diferenciais através de substituição. Vamos precisar fazer a substituição
para transformar a equação em polinomial na variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
. Isolando
:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas a solução positiva (você pode fazer o negativo também, dependendo do contexto do problema):
Passo 4
Lembrando que
, então temos:
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo é simples:
Passo 6
Calculando a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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