Nos exercícios 29-34, realize uma divisão no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.
integral y^4+y^2-1y^3+y d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral y^4+y^2-1y^3+y , dy
Aqui, estamos lidando com uma fração algébrica onde o grau do numerador é maior que o do denominador. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois decompor a fração resultante em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar a expressão. O polinômio do numerador é y^4+y^2-1y^3+y = y + -1y^3+y e o denominador é .
Dividindo por :
  • Multiplicando por resulta em
  • Subtraindo de sobra
Então, a divisão fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração y^3 + y = y(y^2 + 1) . Primeiro, fatoramos o denominador:
-1y(y^2+1) = Ay + B y + Cy^2+1
Então, temos:
-1 = A(y^2+1) + (B y + C)y
Multiplicando ambos os lados por -1 = (A + B)y^2 + C y + A :
A + B = 0
Expandindo e igualando os coeficientes:
C = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
A = -1
-1y(y^2+1) = -1y + yy^2+1
Resolvendo, encontramos , e . Então:

Passo 4

Substituindo de volta na integral, temos:
integral y^4+y^2-1y^3+y , dy = integral ( y + ( -1y + yy^2+1 ) ) dy
Simplificando:
= integral y , dy - integral 1y , dy + integral yy^2+1 , dy
Vamos agora calcular cada uma dessas integrais:
  1. Para , fazemos a substituição , então , o que nos dá

Passo 5

Juntando tudo, a integral fica:
12 y^2 - ln |y| + 12 ln |y^2+1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

12 y^2 - ln |y| + 12 ln |y^2+1| + C

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