Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor da reta
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
e
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica da Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. As curvas que delimitam a região são
e
. Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, o volume
é calculado pela integral:
Aqui:
- Raio: é a distância vertical da linha de rotação
até um ponto qualquer da curva , que é . - Altura: é a distância horizontal ao longo do eixo
, que neste caso é simplesmente .
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Subtraindo os resultados:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b)
(b)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
14a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
14a
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a)
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
.
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
onde u e v são campos vetoriais e
e
são constantes reais.