Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas
,
e
, em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é útil para calcular volumes de sólidos de revolução quando o método dos discos ou anéis fica complicado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que vamos rotacionar. As curvas são:
-
: uma reta que cruza o eixo em e tem inclinação 2. -
: o eixo . -
: uma linha horizontal que corta a reta .
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração.
Passo 3
Encontrando a interseção entre
e
:
Então, o intervalo de
vai de 0 a 4.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, consideramos fatias verticais da região que, ao serem rotacionadas, formam cascas cilindricas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, eixo ). -
é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções e .
Passo 5
Calculando a altura
:
Então, a fórmula do volume fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Calculando a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 4:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor da reta
.
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b)
(b)
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
onde u e v são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.