Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = 2 x - 1, x = 0 e y = 7; ao redor do eixo dos y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas , e , em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é útil para calcular volumes de sólidos de revolução quando o método dos discos ou anéis fica complicado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região que vamos rotacionar. As curvas são:
  • : uma reta que cruza o eixo em e tem inclinação 2.
  • : o eixo .
  • : uma linha horizontal que corta a reta .
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber os limites da nossa integração.

Passo 3

Encontrando a interseção entre e :
Então, o intervalo de vai de 0 a 4.

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, consideramos fatias verticais da região que, ao serem rotacionadas, formam cascas cilindricas. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, eixo ).
  • é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções e .

Passo 5

Calculando a altura :
Então, a fórmula do volume fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Calculando a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de 0 a 4:

Passo 8

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=x^3, y=1 e x = 0; ao redor da reta y = 1.
Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(b) sec(x) = 1/cos(x)
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
nabla x (c u + d v) = c nabla x u + d nabla x v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = 2x - 1, y = 0 e x = 4; ao redor do eixo dos(x).