Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
onde u e v são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos mostrar que o rotacional (ou “curl”) é um operador linear. Isso significa que, para dois campos vetoriais
e
, e para constantes reais
e
, a seguinte igualdade deve valer:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do rotacional e as propriedades das operações com vetores.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial
, o rotacional de
é dado por:
Essa expressão envolve derivadas parciais dos componentes do vetor, o que é essencial para entendermos como o rotacional funciona.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o rotacional ao campo vetorial
. Primeiro, escrevemos esse campo de forma expandida:
Aqui,
são os componentes do vetor
e
são os componentes do vetor
.
Passo 4
Aplicando o rotacional a
, temos:
Passo 5
Podemos distribuir as derivadas parciais pelas constantes
e
, já que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função. Assim:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que têm
e os que têm
:
Passo 7
Observamos que cada uma das expressões dentro dos parênteses é exatamente o rotacional de
e
, respectivamente. Ou seja:
Resposta
Portanto, concluímos que o rotacional é um operador linear:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
.
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e
; ao redor da reta
.
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e
; ao redor do eixo
.
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e
; ao redor do eixo
.