Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = 2x - 1, y = 0 e x = 4; ao redor do eixo dos(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. A gente vai girar a região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo dos . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A função é uma reta que intercepta o eixo no ponto e sobe com inclinação 2. A linha é o eixo dos , e é uma linha vertical. A interseção dessas curvas define a área que vamos rotacionar.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo dos , o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve imaginar a região dividida em pequenas “cascas” verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura infinitesimal .

Passo 4

A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas quando a rotação é em torno do eixo dos é:
onde:
  • é a distância do elemento à rotação (eixo dos ),
  • é a altura da casca,
  • e são os limites de integração no eixo .

Passo 5

No nosso caso, representa a altura da casca , já que essa é a distância entre a curva e o eixo . O limite inferior é onde , ou seja, que resulta em . O limite superior é .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Aqui, é o raio da casca, que é a distância do eixo dos ao elemento .

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integração fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de a :

Passo 9

Calculando as potências:
Simplificando:
Convertendo tudo para frações com denominador 3:

Passo 10

Finalmente, multiplicando:
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

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nabla x (c u + d v) = c nabla x u + d nabla x v
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x = 2y - 2y^2 e x = 0; ao redor do eixo x.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u