Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. A gente vai girar a região delimitada pelas curvas
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A função
é uma reta que intercepta o eixo
no ponto
e sobe com inclinação 2. A linha
é o eixo dos
, e
é uma linha vertical. A interseção dessas curvas define a área que vamos rotacionar.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo dos
, o método das cascas cilíndricas é mais conveniente. Esse método envolve imaginar a região dividida em pequenas “cascas” verticais. Cada casca tem uma altura, um raio e uma espessura infinitesimal
.
Passo 4
A fórmula para o volume
usando cascas cilíndricas quando a rotação é em torno do eixo dos
é:
onde:
-
é a distância do elemento à rotação (eixo dos ), -
é a altura da casca, -
e são os limites de integração no eixo .
Passo 5
No nosso caso,
representa a altura da casca
, já que essa é a distância entre a curva e o eixo
. O limite inferior
é onde
, ou seja,
que resulta em
. O limite superior
é
.
Passo 6
Substituindo na fórmula, temos:
Aqui,
é o raio da casca, que é a distância do eixo dos
ao elemento
.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integração fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 9
Calculando as potências:
Simplificando:
Convertendo tudo para frações com denominador 3:
Passo 10
Finalmente, multiplicando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
onde u e v são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo dos
.
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.