Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x = 2y - 2y^2 e x = 0; ao redor do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos:
  1. : Essa é uma parábola que abre para baixo.
  2. : Essa é a linha do eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Igualando :
Então, a região está entre e .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume é:
Aqui, é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação, e é a função que define a “altura” da casca.

Passo 4

No nosso caso, , que é a função . Os limites de integração são de a .
Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Agora, somamos os resultados das integrais:
Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = 2x - 1, y = 0 e x = 4; ao redor do eixo dos(x).
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
nabla x (c u + d v) = c nabla x u + d nabla x v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u
y'' = y'