Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região. Temos:
-
: Essa é uma parábola que abre para baixo. -
: Essa é a linha do eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Igualando
:
Então, a região está entre
e
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a fórmula para o volume
é:
Aqui,
é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação, e
é a função que define a “altura” da casca.
Passo 4
No nosso caso,
, que é a função
. Os limites de integração são de
a
.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, somamos os resultados das integrais:
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
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e
; ao redor do eixo
.
Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
onde u e v são campos vetoriais e
e
são constantes reais.