partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial de segunda ordem:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = u
Essa equação envolve derivadas em relação a duas variáveis, e , e está igualando a soma dessas derivadas à própria função . Nosso conteúdo principal aqui é equações diferenciais parciais (EDPs), especificamente as de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente tenta escrever a solução como o produto de funções que dependem cada uma de uma única variável.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma variável:
Essa é a essência da separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa expressão na equação original.

Passo 3

Substituindo partial^2 (X Y)partial x^2 + partial^2 (X Y)partial y^2 = X Y na equação, temos:
Y cdot d^2Xdx^2 + X cdot d^2Ydy^2 = X Y
Calculando as derivadas:
1X d^2Xdx^2 + 1Y d^2Ydy^2 = 1
Agora, dividimos ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 4

Reorganizando a equação para separar as variáveis:
1X d^2Xdx^2 - 1 = -1Y d^2Ydy^2
O lado esquerdo depende apenas de d^2Xdx^2 - X = -k^2 X e o direito apenas de d^2Ydy^2 = k^2 Y . Como isso deve ser verdadeiro para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar de . Assim, temos duas equações:

Passo 5

Vamos resolver cada equação separadamente.
Para d^2Xdx^2 = (1 - k^2) X :
A equação fica:
d^2Xdx^2 = lambda^2 X
Dependendo do valor de X(x) = A e^lambda x + B e^-lambda x , teremos diferentes tipos de soluções. Para simplificar, vamos assumir que d^2Ydy^2 = k^2 Y , onde Y(y) = C e^k y + D e^-k y é uma constante real. Então:
A solução geral é:
Para :
A equação é:
A solução geral é similar:

Passo 6

Agora, juntando as soluções de u(x, y) = (A e^lambda x + B e^-lambda x) (C e^k y + D e^-k y) e , a solução geral da equação original é:
Onde , , e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições de contorno específicas, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação u(x, y) = (A e^lambda x + B e^-lambda x) (C e^k y + D e^-k y) é:
Onde , , e são constantes que podem ser ajustadas conforme as condições do problema.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
x = 2y - 2y^2 e x = 0; ao redor do eixo x.
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y = 2x - 1, y = 0 e x = 4; ao redor do eixo dos(x).
y'' = y'
y'' = -y