Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial parcial de segunda ordem:
Essa equação envolve derivadas em relação a duas variáveis,
e
, e está igualando a soma dessas derivadas à própria função
. Nosso conteúdo principal aqui é equações diferenciais parciais (EDPs), especificamente as de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que basicamente tenta escrever a solução como o produto de funções que dependem cada uma de uma única variável.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma variável:
Essa é a essência da separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa expressão na equação original.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Calculando as derivadas:
Agora, dividimos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 4
Reorganizando a equação para separar as variáveis:
O lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
. Como isso deve ser verdadeiro para todos os
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, vamos chamar de
. Assim, temos duas equações:
Passo 5
Vamos resolver cada equação separadamente.
Para
:
A equação fica:
Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções. Para simplificar, vamos assumir que
, onde
é uma constante real. Então:
A solução geral é:
Para
:
A equação é:
A solução geral é similar:
Passo 6
Agora, juntando as soluções de
e
, a solução geral da equação original é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas por condições de contorno específicas, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
,
,
e
são constantes que podem ser ajustadas conforme as condições do problema.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
e
; ao redor do eixo
.
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e
; ao redor do eixo
.