Nos exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=x /(x^2+y^2)

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função na forma de uma fração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A derivada parcial em relação a significa que tratamos como uma constante. Usando a regra do quociente, que diz que se , então .

Passo 3

Identificamos e . Agora, derivamos cada um em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = (1)(x^2 + y^2) - (x)(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Desta vez, derivamos em relação a , tratando como constante. Novamente, usamos a regra do quociente.

Passo 6

Identificamos novamente e . Derivamos cada um em relação a :
  • (já que é constante)

Passo 7

Aplicando a regra do quociente para partial fpartial y = (0)(x^2 + y^2) - (x)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2xy(x^2 + y^2)^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2
e
partial fpartial y = -2xy(x^2 + y^2)^2

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