Nos exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=tg^-1(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e saber derivar a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de u = yx em relação a ddu tan^-1(u) = 11 + u^2 , ou seja, partial fpartial x = ddu tan^-1(u) cdot partial upartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) .
Sabemos que . Vamos chamar o interior da função arco-tangente de :
A derivada de em relação a é:
Agora, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
Então, substituindo de volta:
11 + (yx)^2 = 1x^2 + y^2x^2 = x^2x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de partial fpartial y = ddu tan^-1(u) cdot partial upartial y = 11 + (yx)^2 cdot (1x) em relação a , ou seja, .
Usando novamente , e a derivada de em relação a é .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Simplificando a expressão como fizemos antes:
11 + (yx)^2 = x^2x^2 + y^2
Então:
partial fpartial y = x^2x^2 + y^2 cdot 1x = xx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -yx^2 + y^2
partial fpartial y = xx^2 + y^2

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