Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Então, temos o problema onde precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
, com
e
. Vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica em cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Quando temos uma função que depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem de uma terceira variável, usamos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada. No nosso caso,
depende de
e
, que dependem de
.
Passo 3
Vamos expressar
usando a Regra da Cadeia. A fórmula geral é:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 4
Primeiro, calculemos as derivadas parciais:
Essas derivadas nos dizem como
muda em relação a
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
e
:
Essas derivadas mostram como
e
mudam com
.
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão:
Podemos simplificar isso se necessário, mas essa é a forma geral da derivada.
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.