Nos exercícios 1-22, encontre partial f / partial x e partial f / partial y.
f(x, y)=e^-x sen(x+y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

A derivada de em relação a é . Isso porque a derivada de é , e aqui , então .

Passo 5

A derivada de em relação a é . Usamos a regra da cadeia aqui, onde a derivada de é . Neste caso, e .

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão:
Podemos fatorar partial fpartial x = (-e^-x) cdot sen(x + y) + e^-x cdot cos(x + y) para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Dessa vez, apenas a função depende de , então a derivada de em relação a é zero. Portanto, usamos apenas a derivada de em relação a .

Passo 8

A derivada de em relação a é , novamente aplicando a regra da cadeia. Como , temos .

Passo 9

Multiplicando pela função partial fpartial y = e^-x cdot cos(x + y) :

Resposta

As derivadas parciais são:
e
partial fpartial x = e^-x ( cos(x + y) - sen(x + y) )

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