Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de duas funções:
e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é
. Isso porque a derivada de
é
, e aqui
, então
.
Passo 5
A derivada de em relação a
é
. Usamos a regra da cadeia aqui, onde a derivada de é
. Neste caso,
e
.
Passo 6
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Dessa vez, apenas a função depende de
, então a derivada de
em relação a
é zero. Portanto, usamos apenas a derivada de em relação a
.
Passo 8
A derivada de em relação a
é
, novamente aplicando a regra da cadeia. Como
, temos
.
Passo 9
Multiplicando pela função
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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e
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ou
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