Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t.
w = x * y^2 * z^3, x = sen(t), y = cos(t), z = 1 + e^(2t)

Passo 1

Vamos resolver este exercício usando a Regra da Cadeia, que faz parte do cálculo diferencial. O enunciado nos pede para determinar a derivada em relação a de ou de . Dado que , , e , vamos focar em encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função composta, ou seja, uma função que depende de outras funções. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de :
Para encontrar , precisamos aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto para derivar em relação a :

Passo 5

Agora, vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de :

Passo 7

Agora, substituímos , , e na expressão:

Passo 8

Simplificando os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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