Nos exercicios 9-22, escreva as funções na forma y = f(u) e u = g(x). Em seguida, determine dy/dx em função de x.
y = (x/5 + 1/(5*x))^5

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos reescrever a função na forma e . Depois disso, temos que encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de . Olhando para , percebemos que o que está dentro do parêntese pode ser uma boa escolha para . Então, vamos definir:
Agora, podemos reescrever em termos de :

Passo 3

Agora que temos e , vamos calcular a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Primeiro, vamos encontrar . Como , derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Lembrando que , vamos derivar cada termo em relação a :
Derivando cada parte:
E
Então,

Passo 5

Agora que temos e , vamos multiplicar essas duas derivadas conforme a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, lembrando que , podemos substituir de volta para expressar totalmente em função de :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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