Nos exercicios 9-22, escreva as funções na forma
e
. Em seguida, determine
função de
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos reescrever a função
na forma
e
. Depois disso, temos que encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Pra resolver isso, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que ajuda a encontrar derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de
. Olhando para
, percebemos que o que está dentro do parêntese pode ser uma boa escolha para
. Então, vamos definir:
Agora, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos calcular a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que:
Primeiro, vamos encontrar
. Como
, derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Lembrando que
, vamos derivar cada termo em relação a
:
Derivando cada parte:
E
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos multiplicar essas duas derivadas conforme a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, lembrando que
, podemos substituir de volta para expressar
totalmente em função de
:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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