Nos problemas 27-30 encontre os valores de de forma que a função seja a solução da equação diferencial dada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função e uma equação diferencial . Precisamos encontrar os valores de que fazem com que seja uma solução dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de em relação a . Sabemos que:
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Fatoramos da equação:
Como nunca é zero para qualquer valor de , a equação só será satisfeita se o termo dentro dos parênteses for igual a zero:

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:

Resposta

Os valores de que tornam uma solução da equação diferencial dada são e .

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