Nos problemas 27-30 encontre os valores de
de forma que a função
seja a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a função
e uma equação diferencial
. Precisamos encontrar os valores de
que fazem com que
seja uma solução dessa equação. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
em relação a
. Sabemos que:
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Fatoramos
da equação:
Como
nunca é zero para qualquer valor de
, a equação só será satisfeita se o termo dentro dos parênteses for igual a zero:
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam
uma solução da equação diferencial dada são
e
.
Exercícios relacionados
Nos exercicios 9-22, escreva as funções na forma
e
. Em seguida, determine
função de
.
Para quais valores de
o limite
existe?
Encontre os limites reescrevendo primeiros as frações.
Nos problemas 33-36, use o conceito de que
,
é uma função constante se e somente se
para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.