Seja r(t)=cos t imath+sen t j+k. Determine
(b). lim t 0[r(t) times r^prime(t)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o vetor posição . A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 do produto vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de r'(t) = ddt [cos t, imath + sen t, j + k] = -sen t, imath + cos t, j + 0, k em relação a , ou seja, . A derivada de cada componente é:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial A times B = (Ay Bz - Az By), imath - (Ax Bz - Az Bx), j + (Ax By - Ay Bx), k . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores r(t) times r'(t) = (sen t cdot 0 - 1 cdot cos t), imath - (cos t cdot 0 - 1 cdot (-sen t)), j + (cos t cdot cos t - sen t cdot (-sen t)), k e r(t) times r'(t) = (-cos t), imath - (sen t), j + (cos^2 t + sen^2 t), k é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que por uma identidade trigonométrica básica. Então, o vetor fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limt to 0 r(t) times r'(t) = limt to 0 (-cos t, imath - sen t, j + 1, k) tende a 0:
Sabemos que -cos 0, imath - sen 0, j + 1, k = -1, imath - 0, j + 1, k = -imath + k e , então substituindo:

Resposta

limt to 0 [ r(t) times r'(t) ] = -imath + k

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