Seja
. Determine
(b).
(b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o vetor posição . A questão pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 do produto vetorial
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada de cada componente é:
Então, .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que por uma identidade trigonométrica básica. Então, o vetor fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Sabemos que
e , então substituindo: