Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a funçäo é descontínua no mümero a. Entäo determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina
de tal modo que seja removida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente provar que a função
é descontínua no ponto
. Depois, temos que ver se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai redefinir
para tirar essa descontinuidade. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções e os tipos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se o limite quando
se aproxima de
de ambos os lados é igual ao valor da função em
, ou seja:
Se essa igualdade não for satisfeita, a função é descontínua em
.
Passo 3
Vamos calcular os limites laterais da função
quando
se aproxima de 2.
Primeiro, o limite pela esquerda (
):
Para
,
. Então:
Passo 4
Agora, o limite pela direita (
):
Para
,
. Então:
Passo 5
Observamos que:
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral
não existe. Isso significa que a função
é descontínua em
.
Passo 6
Agora, vamos determinar o tipo de descontinuidade. Existem dois tipos principais:
- Removível: quando os limites laterais existem e são iguais, mas são diferentes do valor da função no ponto.
- Essencial (ou não removível): quando os limites laterais não existem ou não são iguais.
No nosso caso, os limites laterais são diferentes (
), então a descontinuidade é essencial.
Passo 7
Como a descontinuidade é essencial, não é removível. Isso significa que não podemos redefinir
de maneira a tornar a função contínua no ponto
.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
e a descontinuidade é essencial.