Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a funçäo é descontínua no mümero a. Entäo determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina de tal modo que seja removida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente provar que a função é descontínua no ponto . Depois, temos que ver se essa descontinuidade é removível ou essencial. Se for removível, a gente também vai redefinir para tirar essa descontinuidade. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções e os tipos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite quando se aproxima de de ambos os lados é igual ao valor da função em , ou seja:
Se essa igualdade não for satisfeita, a função é descontínua em .

Passo 3

Vamos calcular os limites laterais da função quando se aproxima de 2.
Primeiro, o limite pela esquerda ( ):
Para , . Então:

Passo 4

Agora, o limite pela direita ( ):
Para , . Então:

Passo 5

Observamos que:
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Isso significa que a função é descontínua em .

Passo 6

Agora, vamos determinar o tipo de descontinuidade. Existem dois tipos principais:
  1. Removível: quando os limites laterais existem e são iguais, mas são diferentes do valor da função no ponto.
  2. Essencial (ou não removível): quando os limites laterais não existem ou não são iguais.
No nosso caso, os limites laterais são diferentes ( ), então a descontinuidade é essencial.

Passo 7

Como a descontinuidade é essencial, não é removível. Isso significa que não podemos redefinir de maneira a tornar a função contínua no ponto .

Resposta

A função é descontínua no ponto e a descontinuidade é essencial.

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