lim t 3 / 2 raiz8 t^3-274 t^2-9

Passo 1

Então, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo radicais e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da raiz e verificar o comportamento dela quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 8 (32)^3 - 274 (32)^2 - 9 = 8 times 278 - 274 times 94 - 9 = 27 - 279 - 9 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Observamos que 8t^3 - 27 = (2t)^3 - 3^3 = (2t - 3)((2t)^2 + 2t times 3 + 3^2) = (2t - 3)(4t^2 + 6t + 9) é uma diferença de cubos e 4t^2 - 9 = (2t)^2 - 3^2 = (2t - 3)(2t + 3) é uma diferença de quadrados.
A diferença de cubos pode ser fatorada como . Aqui, e :
A diferença de quadrados é fatorada como . Aqui, e :

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
raiz8t^3 - 274t^2 - 9 = raiz(2t - 3)(4t^2 + 6t + 9)(2t - 3)(2t + 3)
Podemos cancelar o fator raiz4t^2 + 6t + 92t + 3 no numerador e denominador, já que (estamos tomando o limite, então não estamos realmente substituindo por ):

Passo 5

Agora, podemos substituir raiz4(32)^2 + 6(32) + 92(32) + 3 = raiz4 times 94 + 9 + 93 + 3 = raiz9 + 9 + 96 = raiz276 = raiz92 = 3raiz2 na expressão simplificada:
3raiz2 times raiz2raiz2 = 3raiz22
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

lim t 32 raiz8 t^3-274 t^2-9 = 3raiz22

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