lim x -2 x^3-x^2-x+1x^2+3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conceitos de limites e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, e analisar o comportamento da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) . Esse é um polinômio de segundo grau que podemos fatorar. A fatoração consiste em encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o numerador f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 1 = -1 - 1 + 1 + 1 = 0 . Para isso, podemos tentar dividir o polinômio por um de seus fatores aparentes. Vamos testar x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1)(x^2 - 2x + 1) = (x + 1)(x - 1)^2 :
Como , isso significa que é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo por , obtemos .
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a fração:
(x + 1)(x - 1)^2(x + 1)(x + 2) = (x - 1)^2x + 2, x neq -1
Simplificamos que está no numerador e no denominador.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando lim x -2 (x - 1)^2x + 2 se aproxima de (-2 - 1)^2-2 + 2 = 90 :
Substituindo :
Dividir por zero nos indica que o valor do limite tende ao infinito. Mas precisamos analisar de qual lado está se aproximando de :
  • Se se aproxima de pela direita ( ), é um número muito pequeno positivo, então .
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ), é um número muito pequeno negativo, então .
Como os limites laterais são diferentes ( e ), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são divergentes ( e ).

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