Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conceitos de limites e fatoração de polinômios. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e o denominador, e analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. Esse é um polinômio de segundo grau que podemos fatorar. A fatoração consiste em encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o numerador
. Para isso, podemos tentar dividir o polinômio por um de seus fatores aparentes. Vamos testar
:
Como
, isso significa que
é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo
por
, obtemos
.
Então, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a fração:
Simplificamos
que está no numerador e no denominador.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de
:
Substituindo
:
Dividir por zero nos indica que o valor do limite tende ao infinito. Mas precisamos analisar de qual lado
está se aproximando de
:
- Se
se aproxima de pela direita ( ), é um número muito pequeno positivo, então . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), é um número muito pequeno negativo, então .
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os limites laterais são divergentes (
e
).
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 23 a 32, prove que a funçäo é descontínua no mümero a. Entäo determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removivel, redefina
de tal modo que seja removida.
Dadas as funções
e
, determinar:
.
Dadas as funções
e
, determinar: