Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
12. e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas , a reta vertical e a reta horizontal . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos permitem calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam, pois isso vai definir os limites de integração. Precisamos encontrar o valor de onde é igual a .
Então, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Para resolver a equação , usamos a função inversa do logaritmo natural, que é a função exponencial. Aplicando em ambos os lados da equação:
Isso nos dá o ponto de interseção das duas curvas quando .

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se interceptam em e temos a reta , estabelecemos os limites de integração de até . A área pode ser calculada pela integral da diferença entre a função superior e a função inferior nesse intervalo:
Aqui, representa a reta (a função superior) e representa a curva (a função inferior).

Passo 5

Vamos calcular a integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 6

Aplicando os limites de integração à primeira integral:
E à segunda integral:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Subtraindo a segunda parte da primeira:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas , e é .

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