Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
12. e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a área da região delimitada pelas curvas , a reta vertical e a reta horizontal . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integrais, que nos permitem calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam, pois isso vai definir os limites de integração. Precisamos encontrar o valor de onde é igual a .
Então, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Para resolver a equação , usamos a função inversa do logaritmo natural, que é a função exponencial. Aplicando em ambos os lados da equação:
Isso nos dá o ponto de interseção das duas curvas quando .
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se interceptam em e temos a reta , estabelecemos os limites de integração de até . A área pode ser calculada pela integral da diferença entre a função superior e a função inferior nesse intervalo:
Aqui, representa a reta (a função superior) e representa a curva (a função inferior).
Passo 5
Vamos calcular a integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Aplicando os limites de integração à primeira integral: