Obtenha o conjunto solução de cada uma das desigualdades abaixo.
z) (x-1)/(x-6) >= (2*x-4)/(12-5*x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade . Primeiro, entendemos que estamos lidando com desigualdades racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e no denominador. Para resolver, vamos precisar de conceitos de álgebra como resolução de frações e análise de sinais.

Passo 2

Vamos começar simplificando a desigualdade. Para fazer isso, vamos trazer tudo para um lado da desigualdade. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 3

Agora, para subtrair as frações, precisamos de um denominador comum. Observamos que pode ser reescrito como . Isso ajuda a perceber que o denominador comum será . Reescrevendo as frações com esse denominador:

Passo 4

Vamos expandir o numerador:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Vamos fatorar o numerador e o denominador para facilitar a análise dos sinais.
Primeiro, fatorando o numerador :
Podemos fatorar tirando -1 em comum:
Fatorando , encontramos:
Então, a desigualdade fica:
Observamos que , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, identificamos os pontos críticos que fazem o numerador ou denominador serem zero:
Organizando na reta numérica: , , , .
Analisamos os intervalos entre esses pontos para determinar onde a fração é menor ou igual a zero:
  1. : A fração é positiva.
  2. : A fração é negativa.
  3. : A fração é positiva.
  4. : A fração é negativa.
  5. : A fração é positiva.
Como a desigualdade é , buscamos os intervalos onde a fração é negativa ou zero. Além disso, excluímos os valores que tornam o denominador zero ( e ).

Resposta

O conjunto solução da desigualdade é:
Em forma de intervalo:

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