Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando t -> infinito.
x' = matriz([-3 2, -1 -1]) x, x(0) = (1, -2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, dado por:
Nosso objetivo é encontrar a solução desse sistema e descrever como essa solução se comporta quando . Para resolver isso, vamos usar a teoria de autovalores e autovetores, que nos ajuda a resolver sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando os autovalores ( ) da matriz dos coeficientes:
Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são complexos:

Passo 3

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos usar .
Resolvemos :
Vamos resolver a primeira equação:
Podemos escolher para simplificar:
Então, um autovetor associado é:

Passo 4

Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá a forma:
Onde:
  • é a parte real do autovalor.
  • é a parte imaginária do autovalor.
  • e são vetores reais derivados do autovetor complexo.
A partir do autovetor , podemos separar as partes reais e imaginárias:
Então, a solução geral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial :
Isso nos dá o sistema:
ã
Parece que houve um erro. Vamos revisar. Na verdade, a condiç��o inicial nos dá:
Isso implica que não há solução, o que indica que precisamos revisar nossa abordagem. Na verdade, ao ter autovalores complexos, a solução deve envolver a combinação das partes real e imaginária. Portanto, a solução correta utilizando Euler seria:
Aplicando :
Isso resulta em:

Passo 6

Substituindo e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do sistema é:
Quando , o fator tende a zero, o que faz com que também tenda a zero. Ou seja, as soluções convergem para o ponto de equilíbrio na origem à medida que o tempo aumenta.

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