Nos Problemas 9 e 10, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento das soluçöes quando
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, dado por:
Nosso objetivo é encontrar a solução desse sistema e descrever como essa solução se comporta quando
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de autovalores e autovetores, que nos ajuda a resolver sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar encontrando os autovalores (
) da matriz dos coeficientes:
Para achar os autovalores, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são complexos:
Passo 3
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos usar
.
Resolvemos
:
Vamos resolver a primeira equação:
Podemos escolher
para simplificar:
Então, um autovetor associado é:
Passo 4
Como os autovalores são complexos, a solução geral do sistema terá a forma:
Onde:
-
é a parte real do autovalor. -
é a parte imaginária do autovalor. -
e são vetores reais derivados do autovetor complexo.
A partir do autovetor
, podemos separar as partes reais e imaginárias:
Então, a solução geral fica:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Isso nos dá o sistema:
Parece que houve um erro. Vamos revisar. Na verdade, a condiç��o inicial nos dá:
Isso implica que não há solução, o que indica que precisamos revisar nossa abordagem. Na verdade, ao ter autovalores complexos, a solução deve envolver a combinação das partes real e imaginária. Portanto, a solução correta utilizando Euler seria:
Aplicando
:
Isso resulta em:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do sistema é:
Quando
, o fator
tende a zero, o que faz com que
também tenda a zero. Ou seja, as soluções convergem para o ponto de equilíbrio na origem à medida que o tempo aumenta.
Exercícios relacionados
onde
Seja
. Determine
(b)
(b)
Seja
. Determine
©
©
Nos exercícios de 33 a 36, use a definição de área como somatório, tomando
como extremo direito, como extremo esquerdo e por fim como ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva
acima do intervalo especificado.