Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.
g(θ) = θ^(3/5), -32 <= θ <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular a derivada da função e verificar os valores nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde tem possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é . Usando a regra da potência, a derivada fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Olha só a derivada que encontramos:
A derivada nunca será zero porque o numerador é sempre positivo. Mas a derivada não existe quando porque não podemos dividir por zero. Então, é um ponto crítico.

Passo 4

Vamos agora avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo .
  1. No ponto :
  1. No ponto :
  1. No ponto :

Passo 5

Agora, vamos comparar os valores que encontramos:
  • Em ,
  • Em ,
  • Em ,
O menor valor é e o maior valor é .

Resposta

O valor mínimo absoluto da função no intervalo é , assumido em . O valor máximo absoluto é , assumido em .

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