Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular a derivada da função e verificar os valores nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a saber onde a função está aumentando ou diminuindo, e onde tem possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é
. Usando a regra da potência, a derivada fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Olha só a derivada que encontramos:
A derivada nunca será zero porque o numerador
é sempre positivo. Mas a derivada não existe quando
porque não podemos dividir por zero. Então,
é um ponto crítico.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo
.
- No ponto
:
- No ponto
:
- No ponto
:
Passo 5
Agora, vamos comparar os valores que encontramos:
- Em
, - Em
, - Em
,
O menor valor é
e o maior valor é
.
Resposta
O valor mínimo absoluto da função
no intervalo
é
, assumido em
. O valor máximo absoluto é
, assumido em
.