Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.
h(theta) = 3 theta^(2/3), -27 <= theta <= 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função no intervalo de entre -27 e 8. Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre funções contínuas em intervalos fechados: os extremos absolutos (mínimo e máximo) estão nos pontos críticos ou nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, que são onde a inclinação da função é zero ou a derivada não existe. Usamos a regra do poder para derivar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo e verificando onde a derivada não existe:
Não tem solução para que satisfaça essa equação, porque nunca será zero. Mas a derivada não existe quando . Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  • No ponto crítico :
  • Na extremidade :
Para calcular, primeiro encontramos , então:
  • Na extremidade :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, com os valores calculados:
Comparando esses valores, vemos que o menor valor é 0 e o maior valor é 27.

Resposta

O valor mínimo absoluto da função é 0, assumido em .
O valor máximo absoluto da função é 27, assumido em .

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