Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores mínimo e máximo absolutos da função
no intervalo de
entre -27 e 8. Para isso, vamos usar o que a gente aprendeu sobre funções contínuas em intervalos fechados: os extremos absolutos (mínimo e máximo) estão nos pontos críticos ou nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos críticos, que são onde a inclinação da função é zero ou a derivada não existe. Usamos a regra do poder para derivar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
e verificando onde a derivada não existe:
Não tem solução para
que satisfaça essa equação, porque
nunca será zero. Mas a derivada não existe quando
. Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- No ponto crítico
:
- Na extremidade
:
Para calcular, primeiro encontramos
, então:
- Na extremidade
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, com os valores calculados:
Comparando esses valores, vemos que o menor valor é 0 e o maior valor é 27.
Resposta
O valor mínimo absoluto da função é 0, assumido em
.
O valor máximo absoluto da função é 27, assumido em .
O valor máximo absoluto da função é 27, assumido em
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Explique o significado dos seguintes limites:
O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de
, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte:
(a) Seja a área de um polígono com
lados iguais inscrito em um círculo de raio
. Dividindo o polígono em
triângulos congruentes com ângulo central
, mostre que
(a) Seja
(b) Verifique que
e interprete!