Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de
em relação a
e
é igual à soma dos quadrados das derivadas parciais de
em coordenadas polares, ajustadas por
. Isso envolve entender cálculo em coordenadas cartesianas e polares, e usar a regra da cadeia para converter entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como as coordenadas cartesianas
se relacionam com as coordenadas polares
:
Isso significa que
, pois estamos apenas mudando a forma de expressar as mesmas coordenadas.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas nas expressões de
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Passo 7
Expandindo os quadrados:
Passo 8
Observamos que os termos cruzados se cancelam:
Então, restam:
Passo 9
Sabemos que
, então substituindo:
Resposta
Pronto! Mostramos que:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
(b) ;
(b)
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
© ;
©