Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de em relação a e é igual à soma dos quadrados das derivadas parciais de em coordenadas polares, ajustadas por . Isso envolve entender cálculo em coordenadas cartesianas e polares, e usar a regra da cadeia para converter entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como as coordenadas cartesianas se relacionam com as coordenadas polares :
Isso significa que , pois estamos apenas mudando a forma de expressar as mesmas coordenadas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas nas expressões de e :

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Expandindo os quadrados:

Passo 8

Observamos que os termos cruzados se cancelam:
Então, restam:

Passo 9

Sabemos que , então substituindo:

Resposta

Pronto! Mostramos que:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Nos exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).
(b) ;
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de :
© ;