Mostre que
(fx)^2+(fy)^2=(partial wpartial r)^2+1r^2(partial wpartial 0)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de em relação a e é igual à soma dos quadrados das derivadas parciais de em coordenadas polares, ajustadas por . Isso envolve entender cálculo em coordenadas cartesianas e polares, e usar a regra da cadeia para converter entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta se relacionam com as coordenadas polares :
Isso significa que , pois estamos apenas mudando a forma de expressar as mesmas coordenadas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = partial wpartial r cdot partial rpartial x + partial wpartial theta cdot partial thetapartial x em relação a partial fpartial y = partial wpartial r cdot partial rpartial y + partial wpartial theta cdot partial thetapartial y e . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:
r = raizx^2 + y^2 Rightarrow partial rpartial x = xr, partial rpartial y = yr
theta = arctan(yx) Rightarrow partial thetapartial x = -yr^2, partial thetapartial y = xr^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas nas expressões de partial fpartial x = partial wpartial r cdot xr - partial wpartial theta cdot yr^2 e partial fpartial y = partial wpartial r cdot yr + partial wpartial theta cdot xr^2 :

Passo 6

Agora, vamos calcular (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 = (partial wpartial r cdot xr - partial wpartial theta cdot yr^2)^2 + (partial wpartial r cdot yr + partial wpartial theta cdot xr^2)^2 :

Passo 7

Expandindo os quadrados:
= (partial wpartial r)^2 cdot x^2r^2 + (partial wpartial theta)^2 cdot y^2r^4 - 2 cdot partial wpartial r cdot partial wpartial theta cdot xyr^3
+ (partial wpartial r)^2 cdot y^2r^2 + (partial wpartial theta)^2 cdot x^2r^4 + 2 cdot partial wpartial r cdot partial wpartial theta cdot xyr^3

Passo 8

Observamos que os termos cruzados se cancelam:
- 2 cdot partial wpartial r cdot partial wpartial theta cdot xyr^3 + 2 cdot partial wpartial r cdot partial wpartial theta cdot xyr^3 = 0
Então, restam:
(partial wpartial r)^2 cdot x^2 + y^2r^2 + (partial wpartial theta)^2 cdot x^2 + y^2r^4

Passo 9

Sabemos que = (partial wpartial r)^2 cdot r^2r^2 + (partial wpartial theta)^2 cdot r^2r^4 , então substituindo:
= (partial wpartial r)^2 + 1r^2 (partial wpartial theta)^2

Resposta

Pronto! Mostramos que:
(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2 = (partial wpartial r)^2+1r^2(partial wpartial theta)^2

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