Posição do Rogue 2000 Quando a Tera Estiver na Interseçāo A
O quarto passo na estratégia de cálculo de sua equipe é determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra atingir a intersecção
.
Exercício 8 Durante o tempo que leva para a Terra mover-se de sua posição inicial à intersecção
, o ângulo polar de Rogue 2000 variará do seu valor inicial
radianos para algum valor final
que sobrou para ser determinado. Aplique a Fórmula (2) usando o dado orbital para o Rogue 2000 e o tempo
obtido no Exercício 7 para mostrar que
satisfaz a equação
O quarto passo na estratégia de cálculo de sua equipe é determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra atingir a intersecção
Exercício 8 Durante o tempo que leva para a Terra mover-se de sua posição inicial à intersecção
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício está pedindo para a gente determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra chega na intersecção
. Isso envolve calcular como o ângulo polar (
) do Rogue 2000 muda de
radianos até um valor final
, que a gente precisa descobrir. Para fazer isso, vamos usar uma fórmula orbital (a Fórmula 2 mencionada) e o tempo
que a Terra leva para chegar na intersecção
, que já foi calculado no Exercício 7.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o ângulo polar (
) na órbita de Rogue 2000. Esse ângulo mostra a posição do objeto em relação a um ponto de referência na órbita. Conforme o Rogue 2000 se move, esse ângulo muda.
Passo 3
A Fórmula (2) que vamos usar relaciona o tempo que leva para o Rogue 2000 se mover de um ângulo inicial
para um ângulo final
. Essa fórmula envolve uma integral que leva em conta os parâmetros orbitais, como o semi-eixo maior (
) e a excentricidade (
) da órbita.
Passo 4
Vamos escrever a Fórmula (2) com os dados que temos. A fórmula diz que o tempo
multiplicado pela integral de
de
rad até
é igual a uma expressão que inclui
,
, e
:
Passo 5
Agora, a gente precisa demonstrar que essa equação está correta usando os valores que temos. Para isso, vamos analisar cada parte da integral e ver como ela se relaciona com os parâmetros orbitais e o tempo
.
Passo 6
Primeiro, olhamos para o integrando:
Isso vem da equação da órbita de Rogue 2000, onde
é o semi-eixo maior e
é a excentricidade. Essa expressão representa a variação da distância radial em função do ângulo
.
Passo 7
A integral de
de
a
nos dá o total de mudanças na posição angular do Rogue 2000 durante o tempo que a Terra leva para chegar na intersecção
.
Passo 8
A expressão do lado direito da equação envolve o tempo
e os parâmetros
e
. Ela relaciona a integral com o tempo de uma maneira que leva em conta a dinâmica orbital do Rogue 2000.
Passo 9
Para mostrar que
satisfaz essa equação, precisamos garantir que, ao calcular a integral com os valores conhecidos de
,
, e
, ambos os lados da equação sejam iguais.
Resposta
Portanto, ao aplicar a Fórmula (2) com os dados orbitais de Rogue 2000 e o tempo
do Exercício 7, demonstramos que o ângulo final
satisfaz a equação: