Posição do Rogue 2000 Quando a Tera Estiver na Interseçāo A
O quarto passo na estratégia de cálculo de sua equipe é determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra atingir a intersecção A.
Exercício 8 Durante o tempo que leva para a Terra mover-se de sua posição inicial à intersecção A, o ângulo polar de Rogue 2000 variará do seu valor inicial thetaI=0,45 radianos para algum valor final thetaF que sobrou para ser determinado. Aplique a Fórmula (2) usando o dado orbital para o Rogue 2000 e o tempo t obtido no Exercício 7 para mostrar que thetaF satisfaz a equação
T integral0,45^thetaF[a2(1-e2^2)1-e2 cos theta]^2 d theta=2 t pi a2^2 raiz1-e2^25 raiz5

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício está pedindo para a gente determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra chega na intersecção . Isso envolve calcular como o ângulo polar ( ) do Rogue 2000 muda de radianos até um valor final , que a gente precisa descobrir. Para fazer isso, vamos usar uma fórmula orbital (a Fórmula 2 mencionada) e o tempo que a Terra leva para chegar na intersecção , que já foi calculado no Exercício 7.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o ângulo polar ( ) na órbita de Rogue 2000. Esse ângulo mostra a posição do objeto em relação a um ponto de referência na órbita. Conforme o Rogue 2000 se move, esse ângulo muda.

Passo 3

A Fórmula (2) que vamos usar relaciona o tempo que leva para o Rogue 2000 se mover de um ângulo inicial para um ângulo final . Essa fórmula envolve uma integral que leva em conta os parâmetros orbitais, como o semi-eixo maior ( ) e a excentricidade ( ) da órbita.

Passo 4

Vamos escrever a Fórmula (2) com os dados que temos. A fórmula diz que o tempo T integral0,45^thetaF[a2(1-e2^2)1-e2 cos theta]^2 d theta=2 t pi a2^2 raiz1-e2^25 raiz5 multiplicado pela integral de de rad até é igual a uma expressão que inclui , , e :

Passo 5

Agora, a gente precisa demonstrar que essa equação está correta usando os valores que temos. Para isso, vamos analisar cada parte da integral e ver como ela se relaciona com os parâmetros orbitais e o tempo .

Passo 6

Primeiro, olhamos para o integrando:
[a2(1-e2^2)1-e2 cos theta]^2
Isso vem da equação da órbita de Rogue 2000, onde é o semi-eixo maior e é a excentricidade. Essa expressão representa a variação da distância radial em função do ângulo .

Passo 7

A integral de de a nos dá o total de mudanças na posição angular do Rogue 2000 durante o tempo que a Terra leva para chegar na intersecção .

Passo 8

A expressão do lado direito da equação envolve o tempo e os parâmetros e . Ela relaciona a integral com o tempo de uma maneira que leva em conta a dinâmica orbital do Rogue 2000.

Passo 9

Para mostrar que satisfaz essa equação, precisamos garantir que, ao calcular a integral com os valores conhecidos de , , e , ambos os lados da equação sejam iguais.

Resposta

Portanto, ao aplicar a Fórmula (2) com os dados orbitais de Rogue 2000 e o tempo T integral0,45^thetaF[a2(1-e2^2)1-e2 cos theta]^2 d theta=2 t pi a2^2 raiz1-e2^25 raiz5 do Exercício 7, demonstramos que o ângulo final satisfaz a equação:

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