Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos se o limite da função
existe. Isso envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na função:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, observamos que à medida que
,
. A função simplificada é:
Como
, todo o termo multiplicado por
tende a zero, independente do valor de
.
Passo 5
Isso mostra que, independentemente do caminho que
siga para chegar perto de
, o limite da função será sempre zero. Portanto, o limite existe e é igual a zero.
Resposta
O limite existe e é igual a
.
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