Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos se o limite da função
existe. Isso envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Substituindo na função:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, observamos que à medida que , . A função simplificada é:
Como , todo o termo multiplicado por tende a zero, independente do valor de .

Passo 5

Isso mostra que, independentemente do caminho que siga para chegar perto de , o limite da função será sempre zero. Portanto, o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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