Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x^3+4 x^2 yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos se o limite da função
lim (x, y) (0,0) 2 x^3+4 x^2 yx^2+y^2
existe. Isso envolve cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em coordenadas polares, 2 x^3+4 x^2 yx^2+y^2 = 2 (r cos theta)^3 + 4 (r cos theta)^2 (r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e , onde é a distância até a origem e é o ângulo. Substituindo na função:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
2 r^3 cos^3 theta + 4 r^3 cos^2 theta sin theta = r^3 (2 cos^3 theta + 4 cos^2 theta sin theta)
Denominador:
r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2
Então, a função fica:
r^3 (2 cos^3 theta + 4 cos^2 theta sin theta)r^2 = r (2 cos^3 theta + 4 cos^2 theta sin theta)

Passo 4

Agora, observamos que à medida que r (2 cos^3 theta + 4 cos^2 theta sin theta) , . A função simplificada é:
Como , todo o termo multiplicado por tende a zero, independente do valor de .

Passo 5

Isso mostra que, independentemente do caminho que siga para chegar perto de , o limite da função será sempre zero. Portanto, o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite existe e é igual a .

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