Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de múltiplas variáveis e usar uma técnica chamada coordenadas polares que ajuda a simplificar esses tipos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a função de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que:
Aqui,
é a distância do ponto
até a origem
, e
é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na nossa função original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calcula o numerador:
Agora, o denominador:
Sabemos que
, então o denominador simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos o numerador e o denominador simplificados na expressão original:
Passo 6
Para encontrar o limite quando
se aproxima de 0, analisamos a expressão final:
Observamos que
é uma função limitada (sempre estará entre -1 e 1), então o comportamento do limite depende apenas de
.
Passo 7
Como
tende a 0 quando
, multiplicando por algo limitado ainda resulta em 0. Portanto:
Resposta
O limite existe e o seu valor é 0.
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