Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (0,0) x^3 y^3x^2+y^2 se aproxima de . A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de múltiplas variáveis e usar uma técnica chamada coordenadas polares que ajuda a simplificar esses tipos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função de coordenadas cartesianas x = r costheta e y = r sintheta para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que:
Aqui, é a distância do ponto até a origem , e é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo .

Passo 3

Agora, substituímos x^3 y^3x^2+y^2 = (r costheta)^3 (r sintheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 e na nossa função original:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calcula o numerador:
(r costheta)^3 (r sintheta)^3 = r^3 cos^3theta cdot r^3 sin^3theta = r^6 cos^3theta sin^3theta
Agora, o denominador:
(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta = r^2 (cos^2theta + sin^2theta)
Sabemos que r^2 cdot 1 = r^2 , então o denominador simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos o numerador e o denominador simplificados na expressão original:
r^6 cos^3theta sin^3thetar^2 = r^4 cos^3theta sin^3theta

Passo 6

Para encontrar o limite quando limr to 0 r^4 cos^3theta sin^3theta se aproxima de 0, analisamos a expressão final:
Observamos que é uma função limitada (sempre estará entre -1 e 1), então o comportamento do limite depende apenas de .

Passo 7

Como lim(x, y) (0,0) x^3 y^3x^2+y^2 = 0 tende a 0 quando , multiplicando por algo limitado ainda resulta em 0. Portanto:

Resposta

O limite existe e o seu valor é 0.

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