Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é calcular o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de múltiplas variáveis e usar uma técnica chamada coordenadas polares que ajuda a simplificar esses tipos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que:
Aqui, é a distância do ponto até a origem , e é o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo .

Passo 3

Agora, substituímos e na nossa função original:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calcula o numerador:
Agora, o denominador:
Sabemos que , então o denominador simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos o numerador e o denominador simplificados na expressão original:

Passo 6

Para encontrar o limite quando se aproxima de 0, analisamos a expressão final:
Observamos que é uma função limitada (sempre estará entre -1 e 1), então o comportamento do limite depende apenas de .

Passo 7

Como tende a 0 quando , multiplicando por algo limitado ainda resulta em 0. Portanto:

Resposta

O limite existe e o seu valor é 0.

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .