Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente precisa discutir a continuidade da função
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e entender onde a função pode não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. No caso da nossa função, precisamos verificar onde as expressões
e
estão bem definidas, ou seja, onde o denominador não é zero.
Passo 3
Vamos analisar
. A função cosseno é zero quando seu argumento é
, onde
é um número inteiro. Então,
. Resolvendo para
:
Isso significa que
quando
, onde
é inteiro.
Passo 4
Da mesma forma, para
, teremos
, onde
é inteiro. Nessas condições, os denominadores das frações na função
seriam zero, tornando a função indefinida nesses pontos.
Passo 5
Portanto, a função
não está definida quando
ou
são ímpares, ou seja, quando
ou
. Nesses pontos, a função não é contínua porque não está definida.
Passo 6
Fora desses pontos, ambas as expressões
e
são contínuas, já que o cosseno de um número real é sempre definido e diferente de zero, exceto nas condições que já identificamos.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos
do plano, exceto quando
ou
são números ímpares (ou seja,
ou
), onde a função não está definida e, portanto, não é contínua.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Nos Exercícios de 41 a 44, determine se o limite indicado existe.
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
(Sugestão: veja o Exercício 42.)
(Sugestão: veja o Exercício 42.)