Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente precisa discutir a continuidade da função . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções de duas variáveis e entender onde a função pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função no ponto. No caso da nossa função, precisamos verificar onde as expressões e estão bem definidas, ou seja, onde o denominador não é zero.

Passo 3

Vamos analisar . A função cosseno é zero quando seu argumento é , onde é um número inteiro. Então, . Resolvendo para :
Isso significa que quando , onde é inteiro.

Passo 4

Da mesma forma, para , teremos , onde é inteiro. Nessas condições, os denominadores das frações na função seriam zero, tornando a função indefinida nesses pontos.

Passo 5

Portanto, a função não está definida quando ou são ímpares, ou seja, quando ou . Nesses pontos, a função não é contínua porque não está definida.

Passo 6

Fora desses pontos, ambas as expressões e são contínuas, já que o cosseno de um número real é sempre definido e diferente de zero, exceto nas condições que já identificamos.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto quando ou são números ímpares (ou seja, ou ), onde a função não está definida e, portanto, não é contínua.

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(Sugestão: veja o Exercício 42.)