Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa discutir a continuidade da função
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis e ver onde essa função está de boas e onde tem problemas.
Passo 2
Primeiro, o que é continuidade? De um jeito simples, uma função é contínua num ponto se a gente consegue “desenhar” o gráfico dela sem levantar o lápis. Em termos matemáticos, para funções de duas variáveis, isso significa que pequenas mudanças em
e
resultam em pequenas mudanças em
.
Passo 3
Agora vamos olhar a função
. Como é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é definida e aí já rola um problema de continuidade.
Passo 4
Vamos encontrar onde o denominador é zero:
Resolvendo essa equação:
Ou seja,
ou
. Essas são as retas onde o denominador vai ser zero.
Passo 5
Então, nas retas
e
, a função
não está definida. Isso significa que nesses pontos específicos, a função não é contínua. Fora dessas retas, já que o denominador não é zero, a função está tranquila e, portanto, contínua.
Resposta
A função
é contínua para todos os pontos
onde
. Ou seja, ela é contínua em todo lugar, exceto nas retas
e
.
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