Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa discutir a continuidade da função . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade em funções de duas variáveis e ver onde essa função está de boas e onde tem problemas.

Passo 2

Primeiro, o que é continuidade? De um jeito simples, uma função é contínua num ponto se a gente consegue “desenhar” o gráfico dela sem levantar o lápis. Em termos matemáticos, para funções de duas variáveis, isso significa que pequenas mudanças em e resultam em pequenas mudanças em .

Passo 3

Agora vamos olhar a função . Como é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é definida e aí já rola um problema de continuidade.

Passo 4

Vamos encontrar onde o denominador é zero:
Resolvendo essa equação:
Ou seja, ou . Essas são as retas onde o denominador vai ser zero.

Passo 5

Então, nas retas e , a função não está definida. Isso significa que nesses pontos específicos, a função não é contínua. Fora dessas retas, já que o denominador não é zero, a função está tranquila e, portanto, contínua.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos onde . Ou seja, ela é contínua em todo lugar, exceto nas retas e .

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