Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
(Sugestão: veja o Exercício 42.)
(Sugestão: veja o Exercício 42.)
Passo 1
Vamos analisar a continuidade da função
definida por:
Para isso, vamos estudar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor de
nesse ponto, ou seja,
. Se o limite existir e for igual a
, então
é contínua em
. Vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite depende do caminho seguido para
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Ou seja:
Passo 3
Para verificar esse limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 4
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Assim, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 5
Análise dos resultados:
- Pelo Caminho 1 (
), o limite é . - Pelo Caminho 2 (
), o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
Como o limite de
ao se aproximar de
depende do caminho seguido e valores diferentes são obtidos, concluímos que o limite não existe. Portanto, a função
não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Seja
. Mostre que a série
converge se
e diverge se
.
Sejam
e
sequências de números reais positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Defina
(a) Se existem
e
tais que
para todo
então
converge. (Mostre que
(b) Se para todo
suficientemente grande e
diverge então
diverge. (Mostre que
domina
, i.e.
para alguma constante
.)
(b) Se