Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .

(Sugestão: veja o Exercício 42.)

Passo 1

Vamos analisar a continuidade da função definida por:
Para isso, vamos estudar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de nesse ponto, ou seja, . Se o limite existir e for igual a , então é contínua em . Vamos precisar usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite depende do caminho seguido para .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Ou seja:

Passo 3

Para verificar esse limite, vamos considerar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de .
Caminho 1:
Substituindo na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é .

Passo 4

Caminho 2:
Substituindo na função:
Assim, ao longo desse caminho, o limite é .

Passo 5

Análise dos resultados:
  • Pelo Caminho 1 ( ), o limite é .
  • Pelo Caminho 2 ( ), o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

Como o limite de ao se aproximar de depende do caminho seguido e valores diferentes são obtidos, concluímos que o limite não existe. Portanto, a função não é contínua em .

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Seja . Mostre que a série converge se e diverge se .
Sejam e sequências de números reais positivos (ou para todo suficientemente grande). Defina
(a) Se existem e tais que para todo então converge. (Mostre que
(b) Se para todo suficientemente grande e diverge então diverge. (Mostre que domina , i.e. para alguma constante .)