Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente discutir a continuidade da função
. Isso tá dentro da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda funções de mais de uma variável e suas propriedades, como a continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da função:
. Queremos saber quando esse denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função
não estará definida, o que pode causar descontinuidade.
Passo 3
Sabemos que
é sempre maior ou igual a zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Portanto, a soma de dois termos
e
também será maior ou igual a zero.
Passo 4
Para que o denominador seja exatamente zero, precisamos que ambos os termos sejam zero ao mesmo tempo:
Isso acontece quando cada cosseno individualmente é zero.
Passo 5
Sabemos que
quando
, onde
é qualquer inteiro. Então, para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
onde
e
são inteiros.
Passo 6
Isso significa que a função
não está definida e, portanto, não é contínua nos pontos onde
e
, com
e
inteiros. Em todo outro ponto do plano
, a função está bem definida porque o denominador é positivo, já que a soma dos cossenos ao quadrado nunca é negativa.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano, exceto onde
e
são números ímpares inteiros. Nessas posições, o denominador se anula e a função não está definida, gerando descontinuidade.