Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de f.
f(x, y) = 1 / (cos²(1/2 pi x) + cos²(1/2 pi y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente discutir a continuidade da função . Isso tá dentro da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda funções de mais de uma variável e suas propriedades, como a continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero, porque divisão por zero não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função: . Queremos saber quando esse denominador é igual a zero, porque nesses pontos a função não estará definida, o que pode causar descontinuidade.

Passo 3

Sabemos que é sempre maior ou igual a zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Portanto, a soma de dois termos e também será maior ou igual a zero.

Passo 4

Para que o denominador seja exatamente zero, precisamos que ambos os termos sejam zero ao mesmo tempo:
Isso acontece quando cada cosseno individualmente é zero.

Passo 5

Sabemos que quando , onde é qualquer inteiro. Então, para o primeiro termo:
E para o segundo termo:
onde e são inteiros.

Passo 6

Isso significa que a função não está definida e, portanto, não é contínua nos pontos onde e , com e inteiros. Em todo outro ponto do plano , a função está bem definida porque o denominador é positivo, já que a soma dos cossenos ao quadrado nunca é negativa.

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano, exceto onde e são números ímpares inteiros. Nessas posições, o denominador se anula e a função não está definida, gerando descontinuidade.

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