Seja a>0. Mostre que a série sum a^n n!n^n converge se a e diverge se a>e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série e descobrir quando ela converge ou diverge, dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão para séries, que ajuda a determinar a convergência ou divergência com base no limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite existir, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Vamos chamar o termo geral da série de an+1an = a^n+1 (n+1)!(n+1)^n+1 cdot n^na^n n! = a cdot (n+1) cdot ( nn+1 )^n cdot 1n+1 = a ( nn+1 )^n . Agora, vamos calcular an+1an = a ( nn+1 )^n :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty a ( nn+1 )^n tende ao infinito:
L = a cdot 1e = ae
Sabemos que quando é grande. Então:

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Razão:
  • Se ( ), então e a série converge.
  • Se ( ), então e a série diverge.

Resposta

Portanto, a série converge se e diverge se .

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