Seja . Mostre que a série converge se e diverge se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série e descobrir quando ela converge ou diverge, dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão para séries, que ajuda a determinar a convergência ou divergência com base no limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite existir, então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.
Passo 3
Vamos chamar o termo geral da série de . Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito: