Seja . Mostre que a série converge se e diverge se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série e descobrir quando ela converge ou diverge, dependendo do valor de . O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Razão para séries, que ajuda a determinar a convergência ou divergência com base no limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite existir, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 3

Vamos chamar o termo geral da série de . Agora, vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que quando é grande. Então:

Passo 5

Agora, aplicando o Teste da Razão:
  • Se ( ), então e a série converge.
  • Se ( ), então e a série diverge.

Resposta

Portanto, a série converge se e diverge se .

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .

(Sugestão: veja o Exercício 42.)
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .
Sejam e sequências de números reais positivos (ou para todo suficientemente grande). Defina
(a) Se existem e tais que para todo então converge. (Mostre que
(b) Se para todo suficientemente grande e diverge então diverge. (Mostre que domina , i.e. para alguma constante .)
Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .