Sejam (an)n in N e (bn)n in N sequências de números reais positivos (ou an, bn>0 para todo n suficientemente grande). Defina
cn=bn-bn+1 an+1an
(a) Se existem r e N tais que cn >= r>0 para todo n >= N então sum an converge. (Mostre que sumk=N^n ak <= aN bN / r)
(b) Se cn <= 0 para todo n suficientemente grande e sum 1 / bn diverge então sum an diverge. (Mostre que sum an domina sum 1 / bn, i.e. 1 / bn <= C an para alguma constante C>0.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências de números reais positivos e séries. A gente precisa mostrar duas coisas:
(a) Se uma certa condição é atendida (cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N), então a série ∑aₙ converge.
(b) Se outra condição é atendida (cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente) e a série ∑1/bₙ diverge, então a série ∑aₙ também diverge.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria à medida que avançamos.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que ∑aₙ converge dado que cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N
Primeiro, vamos entender o que significa cₙ ≥ r > 0. Temos que:
cn = bn - bn+1 an+1an >= r > 0
Isso implica que podemos rearranjar a expressão para relacionar aₙ com bₙ.

Passo 3

Vamos isolar aₙ:
bn - r >= bn+1 an+1an
Multiplicando ambos os lados por aₙ:
an (bn - r) >= bn+1 an+1
Isso nos dá uma relação entre aₙ e aₙ₊₁.

Passo 4

Agora, vamos somar de k = N até n:
sumk=N^n ak <= aN bNr
Isso porque a condição cₙ ≥ r garante que a série está sendo limitada por uma constante.

Passo 5

Como a soma parcial da série ∑aₙ está limitada por aₙ₀ bₙ₀ / r, ela não pode crescer indefinidamente. Portanto, a série ∑aₙ converge.

Passo 6

Parte (b): Mostrar que ∑aₙ diverge dado que cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente e ∑1/bₙ diverge
Aqui, cₙ ≤ 0 significa:
cn = bn - bn+1 an+1an <= 0
Isso implica que:
bn <= bn+1 an+1an

Passo 7

Rearranjando a expressão:
1bn >= an+1an bn+1
Queremos mostrar que ∑aₙ domina ∑1/bₙ, ou seja, que 1/bₙ ≤ C aₙ para alguma constante C > 0.

Passo 8

Dado que ∑1/bₙ diverge e 1/bₙ ≤ C aₙ, pela comparação de séries, se uma série menor (∑1/bₙ) diverge e está limitada por uma série maior (∑C aₙ), então a série maior também deve divergir.

Passo 9

Portanto, concluímos que ∑aₙ diverge.

Resposta

(a) A série ∑aₙ converge porque a soma parcial está limitada por uma constante.
(b) A série ∑aₙ diverge pois domina uma série divergente ∑1/bₙ.

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