Sejam
e
sequências de números reais positivos (ou
para todo
suficientemente grande). Defina
(a) Se existem
e
tais que
para todo
então
converge. (Mostre que
(b) Se
para todo
suficientemente grande e
diverge então
diverge. (Mostre que
domina
, i.e.
para alguma constante
.)
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências de números reais positivos e séries. A gente precisa mostrar duas coisas:
(a) Se uma certa condição é atendida (cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N), então a série ∑aₙ converge.
(b) Se outra condição é atendida (cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente) e a série ∑1/bₙ diverge, então a série ∑aₙ também diverge.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria à medida que avançamos.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que ∑aₙ converge dado que cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N
Primeiro, vamos entender o que significa cₙ ≥ r > 0. Temos que:
Isso implica que podemos rearranjar a expressão para relacionar aₙ com bₙ.
Passo 3
Vamos isolar aₙ:
Multiplicando ambos os lados por aₙ:
Isso nos dá uma relação entre aₙ e aₙ₊₁.
Passo 4
Agora, vamos somar de k = N até n:
Isso porque a condição cₙ ≥ r garante que a série está sendo limitada por uma constante.
Passo 5
Como a soma parcial da série ∑aₙ está limitada por aₙ₀ bₙ₀ / r, ela não pode crescer indefinidamente. Portanto, a série ∑aₙ converge.
Passo 6
Parte (b): Mostrar que ∑aₙ diverge dado que cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente e ∑1/bₙ diverge
Aqui, cₙ ≤ 0 significa:
Isso implica que:
Passo 7
Rearranjando a expressão:
Queremos mostrar que ∑aₙ domina ∑1/bₙ, ou seja, que 1/bₙ ≤ C aₙ para alguma constante C > 0.
Passo 8
Dado que ∑1/bₙ diverge e 1/bₙ ≤ C aₙ, pela comparação de séries, se uma série menor (∑1/bₙ) diverge e está limitada por uma série maior (∑C aₙ), então a série maior também deve divergir.
Passo 9
Portanto, concluímos que ∑aₙ diverge.
Resposta
(a) A série ∑aₙ converge porque a soma parcial está limitada por uma constante.
(b) A série ∑aₙ diverge pois domina uma série divergente ∑1/bₙ.