Sejam e sequências de números reais positivos (ou para todo suficientemente grande). Defina
(a) Se existem e tais que para todo então converge. (Mostre que
(b) Se para todo suficientemente grande e diverge então diverge. (Mostre que domina , i.e. para alguma constante .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências de números reais positivos e séries. A gente precisa mostrar duas coisas:
(a) Se uma certa condição é atendida (cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N), então a série ∑aₙ converge.
(b) Se outra condição é atendida (cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente) e a série ∑1/bₙ diverge, então a série ∑aₙ também diverge.
Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando a teoria à medida que avançamos.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que ∑aₙ converge dado que cₙ ≥ r > 0 para todo n ≥ N
Primeiro, vamos entender o que significa cₙ ≥ r > 0. Temos que:
Isso implica que podemos rearranjar a expressão para relacionar aₙ com bₙ.

Passo 3

Vamos isolar aₙ:
Multiplicando ambos os lados por aₙ:
Isso nos dá uma relação entre aₙ e aₙ₊₁.

Passo 4

Agora, vamos somar de k = N até n:
Isso porque a condição cₙ ≥ r garante que a série está sendo limitada por uma constante.

Passo 5

Como a soma parcial da série ∑aₙ está limitada por aₙ₀ bₙ₀ / r, ela não pode crescer indefinidamente. Portanto, a série ∑aₙ converge.

Passo 6

Parte (b): Mostrar que ∑aₙ diverge dado que cₙ ≤ 0 para todo n grande o suficiente e ∑1/bₙ diverge
Aqui, cₙ ≤ 0 significa:
Isso implica que:

Passo 7

Rearranjando a expressão:
Queremos mostrar que ∑aₙ domina ∑1/bₙ, ou seja, que 1/bₙ ≤ C aₙ para alguma constante C > 0.

Passo 8

Dado que ∑1/bₙ diverge e 1/bₙ ≤ C aₙ, pela comparação de séries, se uma série menor (∑1/bₙ) diverge e está limitada por uma série maior (∑C aₙ), então a série maior também deve divergir.

Passo 9

Portanto, concluímos que ∑aₙ diverge.

Resposta

(a) A série ∑aₙ converge porque a soma parcial está limitada por uma constante.
(b) A série ∑aₙ diverge pois domina uma série divergente ∑1/bₙ.

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que a série converge se e diverge se .
Nos Exercícios de 45 a 49, discuta a continuidade de .

(Sugestão: veja o Exercício 42.)
Teste as seguintes séries para convergência ou divergência; explique claramente seus argumentos.
(a)
(l) ;
(b)
(m) ;
©
(n) ;
(d)
(o) ;
(e)
§ ;
(f)
(q) ;
(g)
® ;
(h) .
(s)
(i) ;
(t) ;
(u) ;
(j)
(v) ;
(w) ;
(k)
(x) .
Seja uma sequência de termos positivos (ou para todo suficientemente grande). Demonstre o teste de Raabe, segundo o qual (i) se existem e tais que
para todo então converge, e (ii) se existe tal que
para todo então diverge. (Use o Exercício .)