Nos exercícios 4854 assume-se que uma orientação de está fixada.
Suponha fixada uma base positiva de . Dados os seguintes conjuntos de vetores, cujas coordenadas estão expressas em termos da base , determine se formam ou não uma base e, em caso afirmativo, se a base é positiva ou negativa:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar, para cada conjunto de vetores dado, se eles formam uma base de . Isso significa que os vetores devem ser linearmente independentes e gerar todo o espaço. Além disso, se formarem uma base, vamos ver se ela é positiva ou negativa com relação à orientação fixa da nossa base . Para isso, vamos usar determinantes das matrizes formadas pelos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se três vetores formam uma base de , podemos montar uma matriz onde cada coluna é um desses vetores. Se o determinante de for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base. Além disso, o sinal do determinante nos dirá se a base é positiva (determinante positivo) ou negativa (determinante negativo).
Passo 3
Vamos começar com o primeiro conjunto de vetores:
(i)
Montamos a matriz :
Calculando o determinante de :
Como , os vetores são uma base. E como o determinante é negativo, a base é negativa.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo conjunto:
(ii)
Matriz :
Calculando o determinante:
Aqui, , então os vetores formam uma base. Como o determinante é positivo, a base é positiva.
Passo 5
Vamos para o terceiro conjunto:
(iii)
Matriz :
Calculando o determinante:
Usamos a regra de Sarrus ou cofactores. Vamos usar cofactores:
Como , os vetores formam uma base. O determinante negativo indica que a base é negativa.
Passo 6
Quarto conjunto:
(iv)
Matriz :
Determinante:
Aqui, , então os vetores não formam uma base.
Passo 7
Quinto conjunto:
(v)
Matriz :
Determinante:
Como , os vetores formam uma base. O determinante positivo significa que a base é positiva.
Passo 8
Último conjunto:
(vi)
Matriz :
Determinante:
Observar que as duas primeiras colunas são iguais nas duas primeiras linhas, o que já indica dependência linear, mas vamos calcular:
Como , os vetores não formam uma base.
Resposta
(i) Forma uma base negativa. (ii) Forma uma base positiva. (iii) Forma uma base negativa. (iv) Não forma uma base. (v) Forma uma base positiva. (vi) Não forma uma base.