Resolver uma Equação Não-Homogênea:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica a equação para a derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral usando o método de integração por partes duas vezes ou reconhecendo que ela resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado é:

Passo 7

Substituímos o resultado da integral de volta na equação:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(m) ;
Nos exercícios 4854 assume-se que uma orientação de está fixada.
Suponha fixada uma base positiva de . Dados os seguintes conjuntos de vetores, cujas coordenadas estão expressas em termos da base , determine se formam ou não uma base e, em caso afirmativo, se a base é positiva ou negativa:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Resolver uma Equação com Variáveis Separáveis: