Resolver uma Equação Não-Homogênea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. A equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica a equação para a derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes duas vezes ou reconhecendo que ela resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado é:
Passo 7
Substituímos o resultado da integral de volta na equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(m) ;
(m)
Nos exercícios 4854 assume-se que uma orientação de
está fixada.
Suponha fixada uma base positiva de
. Dados os seguintes conjuntos de vetores, cujas coordenadas estão expressas em termos da base
, determine se formam ou não uma base e, em caso afirmativo, se a base é positiva ou negativa:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Suponha fixada uma base positiva
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Resolver uma Equação com Variáveis Separáveis: