Resolver uma Equação Não-Homogênea:
d yd x+2 y=sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na nossa equação. A equação está na forma padrão:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^2x cdot d yd x + 2 e^2x y = e^2x sin(x)
Isso transforma a equação em:
dd x ( e^2x y ) = e^2x sin(x)
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que simplifica a equação para a derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a integral dd x ( e^2x y ) dx = integral e^2x sin(x) dx :
e^2x y = integral e^2x sin(x) dx + C
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^2x sin(x) dx = e^2x5 (2 sin(x) - cos(x)) + C usando o método de integração por partes duas vezes ou reconhecendo que ela resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado é:

Passo 7

Substituímos o resultado da integral de volta na equação:
e^2x y = e^2x5 (2 sin(x) - cos(x)) + C
Agora, dividimos ambos os lados por y = 15 (2 sin(x) - cos(x)) + C e^-2x para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2 sin(x) - cos(x)5 + C e^-2x
Onde é uma constante arbitrária.

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