Resolver uma Equação com Variáveis Separáveis:
d yd x=(x^2-1) y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado é:
dydx = (x^2 - 1) y
Para resolver isso, precisamos separar as variáveis e em lados diferentes da equação e depois integrar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar dydx = (x^2 - 1) y e dyy = (x^2 - 1) dx . A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por para deixar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de integral dyy = ln|y| + C1 em relação a integral (x^2 - 1) dx = x^33 - x + C2 é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Vamos juntar as integrais:
ln|y| + C1 = x^33 - x + C2
Podemos simplificar absorvendo as constantes de integração em uma só, ln|y| = x^33 - x + C :

Passo 5

Para resolver para y = e^x^33 - x + C , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial aos dois lados:
y = e^C cdot e^x^33 - x
Podemos escrever isso como:
y = K e^x^33 - x
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = K , e^,x^33 - x
Onde é uma constante arbitrária.

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