Resolver uma Equação com Variáveis Separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado é:
Para resolver isso, precisamos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação e depois integrar. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por
para deixar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos juntar as integrais:
Podemos simplificar absorvendo as constantes de integração em uma só,
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial aos dois lados:
Podemos escrever isso como:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.