Resolver uma Equação com Variáveis Separáveis:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo variáveis separáveis. O enunciado é:
Para resolver isso, precisamos separar as variáveis e em lados diferentes da equação e depois integrar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar e . A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por para deixar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Vamos juntar as integrais:
Podemos simplificar absorvendo as constantes de integração em uma só, :

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial aos dois lados:
Podemos escrever isso como:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 4854 assume-se que uma orientação de está fixada.
Suponha fixada uma base positiva de . Dados os seguintes conjuntos de vetores, cujas coordenadas estão expressas em termos da base , determine se formam ou não uma base e, em caso afirmativo, se a base é positiva ou negativa:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Resolver uma Equação Não-Homogênea:
Ex. 5. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
©
Solução de uma Equação com Condição Inicial: Resolva: