Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o volume de um sólido que resulta da rotação, em torno do eixo x, da região delimitada pelas curvas
e
. Isso está relacionado ao cálculo de volumes de sólidos de revolução, utilizando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. Temos
, que é uma parábola abrindo para cima, e
, que é uma linha reta. Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para definir os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
:
Assim, as interseções ocorrem em
e
. Portanto, nosso intervalo de integração será de 0 a 1.
Passo 4
Como estamos girando em torno do eixo x, podemos usar o método dos discos. A fórmula para o volume
é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo. Nesse caso,
e
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.