Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- -x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que
x^2 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o volume de um sólido que resulta da rotação, em torno do eixo x, da região delimitada pelas curvas e . Isso está relacionado ao cálculo de volumes de sólidos de revolução, utilizando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. Temos , que é uma parábola abrindo para cima, e , que é uma linha reta. Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para definir os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos :
Assim, as interseções ocorrem em e . Portanto, nosso intervalo de integração será de 0 a 1.

Passo 4

Como estamos girando em torno do eixo x, podemos usar o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Onde é a função de cima e a de baixo. Nesse caso, e .

Passo 5

Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 7

Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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