(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisamos fazer três coisas:
(a) Encontrar usando diferenciação implícita,
(b) Resolver a equação para diretamente e depois diferenciar para achar
em termos de
,
© Verificar se as duas soluções de que encontramos estão de acordo umas com as outras.
Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como diferenciar funções implícitas e explícitas.
(a) Encontrar
(b) Resolver a equação para
© Verificar se as duas soluções de
Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como diferenciar funções implícitas e explícitas.
Passo 2
Parte (a): Diferençação Implícita
Primeiro, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar
. Diferenciação implícita é útil quando
não está isolado, como aqui. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Calculando cada derivada:
-
(usando a regra do poder). -
(usando a regra da cadeia, já que é função de ). -
.
Então, substituindo:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Parte (b): Resolver para
e Diferenciar
Agora, vamos resolver a equação
para
:
Agora, vamos diferenciar
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. Seja
, então
. A derivada de
em relação a
é:
Calculando
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Parte ©: Verificar a Consistência das Soluções
Vamos verificar se as duas expressões para
são compatíveis. Da parte (a), temos:
Da parte (b), temos:
Sabemos que
, então
. Substituindo na expressão da parte (a):
Isso é exatamente o que encontramos na parte (b). Portanto, as duas soluções para
são consistentes.
Resposta
As soluções para
nas partes (a) e (b) são compatíveis, confirmando que ambas estão corretas:
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
.
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for