(a) Find y' by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y' in terms of x.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).
6x^4 + y^5 = 2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação e precisamos fazer três coisas:
(a) Encontrar usando diferenciação implícita,
(b) Resolver a equação para diretamente e depois diferenciar para achar em termos de ,
© Verificar se as duas soluções de que encontramos estão de acordo umas com as outras.
Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas e como diferenciar funções implícitas e explícitas.

Passo 2

Parte (a): Diferençação Implícita
Primeiro, vamos usar a diferenciação implícita para encontrar . Diferenciação implícita é útil quando não está isolado, como aqui. Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
Calculando cada derivada:
  • (usando a regra do poder).
  • (usando a regra da cadeia, já que é função de ).
  • .
Então, substituindo:
Agora, isolamos :

Passo 3

Parte (b): Resolver para e Diferenciar
Agora, vamos resolver a equação para :
Agora, vamos diferenciar em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia. Seja , então . A derivada de em relação a é:
Calculando :
Substituindo de volta:

Passo 4

Parte ©: Verificar a Consistência das Soluções
Vamos verificar se as duas expressões para são compatíveis. Da parte (a), temos:
Da parte (b), temos:
Sabemos que , então . Substituindo na expressão da parte (a):
Isso é exatamente o que encontramos na parte (b). Portanto, as duas soluções para são consistentes.

Resposta

As soluções para nas partes (a) e (b) são compatíveis, confirmando que ambas estão corretas:

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