Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- , do conjunto de todos os pontos tais que
e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que rola ao girar uma região em torno do eixo-x. A região é definida por e . Então, vamos precisar usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. No intervalo de de 1 a 2, a função superior é e a função inferior é . Quando giramos essa área ao redor do eixo-x, formamos um sólido com “anéis” empilhados.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula do método dos anéis:
Aqui, é o raio externo (a função de cima) e é o raio interno (a função de baixo).

Passo 4

Identificando as funções:
Os limites de integração são de até .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a diferença:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo- , do conjunto de todos os pontos tais que
.
Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
27.
(a) Find by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get in terms of .
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).