Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que rola ao girar uma região em torno do eixo-x. A região é definida por
e
. Então, vamos precisar usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. No intervalo de
de 1 a 2, a função superior é
e a função inferior é
. Quando giramos essa área ao redor do eixo-x, formamos um sólido com “anéis” empilhados.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula do método dos anéis:
Aqui,
é o raio externo (a função de cima) e
é o raio interno (a função de baixo).
Passo 4
Identificando as funções:
Os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.