Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que rola ao girar uma região em torno do eixo-x. A região é definida por
e
. Então, vamos precisar usar o cálculo de volumes por rotação, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. No intervalo de
de 1 a 2, a função superior é
e a função inferior é
. Quando giramos essa área ao redor do eixo-x, formamos um sólido com “anéis” empilhados.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, usamos a fórmula do método dos anéis:
Aqui,
é o raio externo (a função de cima) e
é o raio interno (a função de baixo).
Passo 4
Identificando as funções:
Os limites de integração são de
até
.
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 51 a 55 , calcule o volume do sólido obitido pela rotação, em torno do eixo-
, do conjunto de todos os pontos
tais que
.
Nos Problemas 1-30, encontre uma segunda soluçâo para cada equaçăo diferencial. Use reduçilo de ordem ou a formula (4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
27.
27.
(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for