(a) Find y' by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for y and differentiate to get y' in terms of x.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for y into your solution for part (a).
2/x - 1/y = 4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar usando diferenciação implícita.
(b) Resolver a equação para y de forma explícita e então diferenciar para obter em termos de x.
© Verificar se as soluções dos itens (a) e (b) estão consistentes substituindo a expressão de y na solução do item (a)$.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas implícitas e explícitas, além de habilidades de álgebra para isolar .

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar usando diferenciação implícita.
A diferenciação implícita é útil quando temos uma equação que relaciona y e x de forma não direta. A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x, então precisamos aplicar a regra da cadeia ao derivar termos com y.
Dada a equação:
Vamos derivar ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  1. A derivada de em relação a x:
  1. A derivada de em relação a x:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, pois y é uma função de x.
  1. A derivada do lado direito, que é a derivada de uma constante, é zero.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
  1. Primeiro, movemos para o outro lado:
  1. Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Esta é a expressão para obtida pela diferenciação implícita.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): resolver a equação explicitamente para y e depois diferenciar para obter em termos de x.
Começamos com a equação original:
Vamos isolar :
Agora, invertendo ambos os lados para resolver para y:
Simplificando a expressão:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar y em relação a x usando a regra do quociente.
A função é:
Aplicando a regra do quociente, que diz que se , então:
Neste caso, e , então:
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:

Passo 7

Finalmente, vamos verificar a consistência das soluções dos itens (a) e (b).
No item (a), obtivemos:
E do item (b), temos:
Vamos substituir essa expressão de y na solução do item (a):
Isso coincide exatamente com a expressão encontrada no item (b), ou seja:
Portanto, as soluções dos itens (a) e (b) estão consistentes.

Resposta

Todas as soluções estão corretas e consistentes. A derivada é dada por:

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