(a) Find
by implicit differentiation.
(b) Solve the equation explicitly for
and differentiate to get
in terms of
.
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
into your solution for part (a).
(b) Solve the equation explicitly for
© Check that your solutions to parts (a) and (b) are consistent by substituting the expression for
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar
usando diferenciação implícita.
(b) Resolver a equação para
de forma explícita e então diferenciar para obter
em termos de
.
© Verificar se as soluções dos itens (a) e (b) estão consistentes substituindo a expressão de
na solução do item (a)$.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas implícitas e explícitas, além de habilidades de álgebra para isolar
.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar
usando diferenciação implícita.
A diferenciação implícita é útil quando temos uma equação que relaciona
e
de forma não direta. A ideia é derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
, então precisamos aplicar a regra da cadeia ao derivar termos com
.
Dada a equação:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a :
- A derivada de
em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, pois
é uma função de
.
- A derivada do lado direito, que é a derivada de uma constante, é zero.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
- Primeiro, movemos
para o outro lado:
- Multiplicamos ambos os lados por
para isolar :
Esta é a expressão para
obtida pela diferenciação implícita.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): resolver a equação explicitamente para
e depois diferenciar para obter
em termos de
.
Começamos com a equação original:
Vamos isolar
:
Agora, invertendo ambos os lados para resolver para
:
Simplificando a expressão:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos diferenciar
em relação a
usando a regra do quociente.
A função é:
Aplicando a regra do quociente, que diz que se
, então:
Neste caso,
e
, então:
Substituindo na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada é:
Passo 7
Finalmente, vamos verificar a consistência das soluções dos itens (a) e (b).
No item (a), obtivemos:
E do item (b), temos:
Vamos substituir essa expressão de
na solução do item (a):
Isso coincide exatamente com a expressão encontrada no item (b), ou seja:
Portanto, as soluções dos itens (a) e (b) estão consistentes.
Resposta
Todas as soluções estão corretas e consistentes. A derivada
é dada por: