Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases de V^3 tais que f1=e1-e3, f2=3 e1 e f3=4 e1-3 e2. Calcule as coordenadas de v=(1,2,-1)F na base E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor v = (1, 2, -1)F na base E. Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar das coordenadas em F para as coordenadas em E, usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as relações entre as bases E e F. Sabemos que cada vetor de F está expresso em termos dos vetores de E:
f1 = e1 - e3, f2 = 3e1, f3 = 4e1 - 3e2
Isso significa que podemos construir a matriz de mudança de base de F para E usando essas coordenadas.

Passo 3

Vamos montar a matriz PE F, que transforma coordenadas de F para E. Cada coluna dessa matriz será as coordenadas de f1, f2, f3 na base E:
PE F = 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0
Aqui, a primeira coluna vem de f1 = e1 - e3, a segunda de f2 = 3e1, e a terceira de f3 = 4e1 - 3e2.

Passo 4

Agora, para encontrar as coordenadas de v na base E, precisamos resolver a equação:
vE = PE F cdot vF
Onde vF = 1 2 -1 são as coordenadas de v na base F.

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
vE = 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0 cdot 1 2 -1 = 1(1) + 3(2) + 4(-1) 0(1) + 0(2) + (-3)(-1) -1(1) + 0(2) + 0(-1) = 1 + 6 - 4 0 + 0 + 3 -1 + 0 + 0 = 3 3 -1

Resposta

As coordenadas de v na base E são (3, 3, -1)E.

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