Sejam e bases de tais que e . Calcule as coordenadas de na base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor na base . Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em . Para resolver isso, vamos precisar entender como passar das coordenadas em para as coordenadas em , usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as relações entre as bases e . Sabemos que cada vetor de está expresso em termos dos vetores de :
Isso significa que podemos construir a matriz de mudança de base de para usando essas coordenadas.
Passo 3
Vamos montar a matriz , que transforma coordenadas de para . Cada coluna dessa matriz será as coordenadas de na base :
Aqui, a primeira coluna vem de , a segunda de , e a terceira de .
Passo 4
Agora, para encontrar as coordenadas de na base , precisamos resolver a equação: