Sejam e F=f1, f2, f3 bases de V^3 tais que f1=e1-e3, f2=3 e1 e f3=4 e1-3 e2. Calcule as coordenadas de v=(1,2,-1)F na base E.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as coordenadas do vetor v = (1, 2, -1)F na base E. Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender como passar das coordenadas em F para as coordenadas em E, usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as relações entre as bases E e F. Sabemos que cada vetor de F está expresso em termos dos vetores de E:
f1 = e1 - e3, f2 = 3e1, f3 = 4e1 - 3e2
Isso significa que podemos construir a matriz de mudança de base de F para E usando essas coordenadas.
Passo 3
Vamos montar a matriz PE F, que transforma coordenadas de F para E. Cada coluna dessa matriz será as coordenadas de f1, f2, f3 na base E:
PE F = 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0
Aqui, a primeira coluna vem de f1 = e1 - e3, a segunda de f2 = 3e1, e a terceira de f3 = 4e1 - 3e2.
Passo 4
Agora, para encontrar as coordenadas de v na base E, precisamos resolver a equação:
vE = PE F cdot vF
Onde vF = 1 2 -1 são as coordenadas de v na base F.