Nos Exercícios 89-94, determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique por quê. Se falsa, justifique com um exemplo.
89. Se lim x a f(x) existe, então f está definida em x=a.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se existe, então está definida em .” Isso está relacionado ao conceito de limites em cálculo, especificamente sobre a existência de limites e a definição de funções em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de quando se aproxima de existe. Isso quer dizer que, conforme se aproxima de por valores à esquerda e à direita, está se aproximando de um valor específico .

Passo 3

Agora, a questão está dizendo que se esse limite existe, então a função deve estar definida exatamente em . Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.

Passo 4

Na verdade, a existência do limite não garante que esteja definido. É possível que a função tenha uma “lacuna” ou “buraco” no ponto , onde o limite existe, mas o valor da função não está definido ali.

Passo 5

Para ilustrar isso, vamos pensar em um exemplo simples. Considere a função:
f(x) = sin(x)x & se x neq 0 Não definida & se x = 0 ã
O limite de quando se aproxima de existe e vale . No entanto, não está definida. Isso mostra que é possível ter o limite existir sem que a função esteja definida no ponto.

Resposta

FALSA. Por exemplo, a função não está definida em , mas existe.

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