Nos Exercícios 89-94, determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique por quê. Se falsa, justifique com um exemplo.
89. Se
existe, então
está definida em
.
89. Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Se
existe, então
está definida em
.” Isso está relacionado ao conceito de limites em cálculo, especificamente sobre a existência de limites e a definição de funções em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que o limite de
quando
se aproxima de
existe. Isso quer dizer que, conforme
se aproxima de
por valores à esquerda e à direita,
está se aproximando de um valor específico
.
Passo 3
Agora, a questão está dizendo que se esse limite existe, então a função
deve estar definida exatamente em
. Vamos verificar se isso é sempre verdadeiro.
Passo 4
Na verdade, a existência do limite
não garante que
esteja definido. É possível que a função tenha uma “lacuna” ou “buraco” no ponto
, onde o limite existe, mas o valor da função não está definido ali.
Passo 5
Para ilustrar isso, vamos pensar em um exemplo simples. Considere a função:
O limite de
quando
se aproxima de
existe e vale
. No entanto,
não está definida. Isso mostra que é possível ter o limite existir sem que a função esteja definida no ponto.
Resposta
FALSA. Por exemplo, a função
não está definida em
, mas
existe.