Seja f(x, y) = (1/2) * raiz(24 - x^2 - 2y^2).
(a) Determine o domínio de f(x, y), D(f).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é descobrir o domínio dessa função, ou seja, todos os pares para os quais a função está definida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e as condições que elas impõem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão dentro da raiz quadrada, chamada de radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Isso porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo dentro dos números reais. Então, vamos estabelecer a condição:

Passo 3

Agora, vamos isolar e para entender melhor a relação entre eles. Podemos reescrever a inequação assim:
Isso significa que a soma de e tem que ser, no máximo, 24.

Passo 4

Para visualizar melhor, podemos dividir ambos os lados da inequação por 24:
Essa é a equação de uma elipse no plano , onde os semi-eixos são de comprimentos e .

Passo 5

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos que estão dentro ou na borda dessa elipse. Em termos matemáticos, podemos escrever:

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os pares em que satisfazem . Ou seja,

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